Analisi non standard

Calcolo differenziale ed integrale, concetto di limite e continuità: nell’analisi infinitesimale contemporanea, che studia il comportamento di una funzione tramite le nozioni di continuità e di limite, i numeri infinitesimi non esistono. Storicamente parlando, queste quantità infinitesimali sono esistite, utilizzandole informalmente, ed è grazie a questi utilizzi informali che vennero scoperti importanti teoremi fondamentali dell’analisi. I numeri infinitesimi hanno avuto una loro formalizzazione dal logico matematico Abraham Robinson che ha introdotto l’analisi nonstandard, all’inizio degli anni Sessanta. L’analisi non standard può fornire una rilettura di alcuni aspetti della storia del calcolo, cercando di formalizzare le idee di numero “piccolo” e “grande”, facendoci avvicinare più facilmente all’intuizione.

• EXCURSUS STORICO

Fin dall’epoca classica il problema della quantità infinitesime fu un tema ed una discussione matematico-filosofica fondamentale. Euclide, ne “Gli elementi” del 300 a.C., scrisse:

Si dice che hanno fra loro rapporto le grandezze le quali possono, se moltiplicate,superarsi reciprocamente.

Euclide, Gli elementi, Libro V, Definizione IV

Si precisa che l’esistenza di grandezze omogenee che non hanno rapporto equivale all’esistenza di grandezze una infinitesima rispetto all’altra.

Tradizionalmente, l’analisi matematica moderna ha inizio con i metodi elaborati da Isaac Newton (1643-1727) e da Gottfried Leibniz (1646-1716). Quest’ultimo faceva un uso diretto dei numeri infinitesimi. Ad esempio, è dovuta a lui la familiare notazione df/dx che si basa sulla nozione di incremento infinitesimo. Molti dei teoremi fondamentali del calcolo vennero inizialmente giustificati mediante un esplicito uso di quantità infinitesime.

Non mancarono all’epoca le critiche ed i scetticismi nel riguardo dell’uso degli infinitesimi, Leonhard Euler (1707-1783) scrisse:

…i differenziali essendo privi di quantità, sono anche detti infinitesimi e, per la loro natura sono da interpretarsi come del tutto nulli o uguali a zero. Così se alla quantità x si attribuisce un incremento w, di modo che diventi x+w, il suo quadrato xx diventerà xx+2xw+ww, e dunque subirà l’incremento 2xw+ww,perciò l’incremento della x, che è w, starà all’incremento del quadrato, che è 2xw +ww come 1 sta a 2x+w; il quale rapporto diventa di 1 a 2x soltanto nel momento in cui w svanisce. Sia dunque w = 0 e il rapporto di questi incrementi evanescenti, che è la sola cosa che si considera nel calcolo differenziale,è quello di 1 a 2x.

L. Euler, Institutiones calculis differentialis, 1755

In breve, se f è la funzione “quadrato”, x è un punto fissato, e w denota un incremento infinitesimo, il ragionamento di sopra può essere riassunto così:

Il filosofo George Berkeley (1685-1753) puntò il dito sulla contraddittorietà di un tale tipo di ragionamento dove in un primo momento si suppone w≠ 0 (altrimenti il rapporto
incrementale non è definito), e in un secondo momento si “trascura” w uguagliandolo a zero. Dunque l’incremento infinitesimo w è considerato allo stesso tempo diverso da zero ed uguale a zero.

Fu nella seconda metà dell’Ottocento che Karl Weiestrass introdusse la cosiddetta formalizzazione ε – σ, bandendo,però, completamente i numeri infinitesimi ed infiniti dall’analisi.

Durante gli ultimi decenni del secolo scorso i numeri infinitesimi hanno avuto una loro formalizzazione dal logico matematico Abraham Robinson, introducendo l’analisi non standard.

• ANALISI NON STANDARD

Definiamo, innanzitutto, il campo ordinato non completo ℜ* che estende il campo ordinato ℜ.

ℜ* contiene un elemento positivo infinitesimo:

∃k∈ℜ*: k>0, k<r ∀r∈ℜ, r>0.

k è infinitesimo se e solo se il suo reciproco è infinito.

La somma ed il prodotto tra infinitesimi è ancora un infinitesimo.

ℜ* non è un campo archimedeo (definizione di archimedeo si veda Dimostrazioni ed il principio di Induzione ),in quanto ogni multiplo infinitesimo sarà sempre più piccolo di ogni reale, non è un campo ordinato completo in quanto l’insieme degli infinitesimi non ha massimo e non ha estremo superiore.

Procedendo in modo assiomatico per ℜ* definiamo:

1. Estensione naturale è una corrispondenza * che associa ad ogni oggetto standard A dell’analisi elementare un unico oggetto nonstandard A*, in modo che siano verificate le proprietà seguenti:
   – Se x è un numero reale, x* = x;
   – Se A è un insieme standard, A*⊇ A è un suo soprainsieme;
   – Se f : A → B è una funzione standard, f* : A* → B* è una sua estensione (cioè f*(a) = f(a) per ogni a ∈ A);
2. Il principio di transfer, secondo il quale ogni proprietà elementare (proprietà con quantificatori sugli insiemi ℜ e ℜ*, ma non nei loro sottoinsiemi) valida in ℜ è valida anche in ℜ* per le estensioni naturali degli oggetti coinvolti.
3. Parte Standard: per ogni x∈ℜ*,x finito, esiste un unico numero reale y∈ℜ tale che (x-y)∈ℜ*. y si chiama la parte standard di x, st(x)=y

Teorema di Weierstrass con analisi non standard

Enunciato: Siano a,b∈ℜ,a<b, sia f : [a; b] → R continua su un intervallo chiuso e limitato allora ha massimo e minimo assoluto.

Dove : dati due numeri x e y si dicono infinitamente vicini se x-y è infinitesimo,allora xy,  relazione di equivalenza.

Per il minimo assoluto analogo.

Nella matematica le cose non si capiscono. Semplicemente ci si abitua.

John von Neumann,matematico, fisico e informatico ungherese. 

BIBLIOGRAFIA.

-Euclide, Gli elementi, a cura di A. Frajese e L. Maccioni, UTET, Torino, 1970.

-M. Davis, R. Hersh, L’analisi non-standard, Le Scienze, n. 40 (1972), 76-83. Ristampato
in: Logica, Quaderni de “Le Scienze”, n. 60 (1981)

-Nasso-I numeri infinitesimi e l’analisi non standard, Archimede (2003) n. 1, pp. 13-22